高中数学重要知识点排列与组合公式2024年4月30日

高中数学主要知识点：排列与组合公式

 

排列组合公式/排列组合计算公式

组合C-----与订单标题无关

例如，如果您想将5本不同的书分配给3个人，有多种划分方法。 “展示”

将5本书分给3个人的“组合”有几种。

从n个不同的元素中，随机挑选m(mn)个元素，并按一定的顺序将它们排列在一列中。我们希望从n个不同的元素中进行m个元素的排列；从n个不同的元素中取出m(mn)。 ) 元素的所有排列数用取自n个不同元素的m个元素的排列数表示，用符号p(n, m)表示。

从n个不同的元素中，随机选择m(mn)个元素并将它们组合成一个组，以创建n个不同元素中的m个元素的组合；从n个不同的元素中取出所有m(mn)个元素的组合数是从n个不同的元素中取出m个元素的组合数。带有标志的标记

3.其他显示及组合公式

将n个元素分为k类，每类的个数分别为n1、n2、nk。这n个元素的排列总数为

有k种元素，每种元素的数量是无限的，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m)。

式P是指排列，从N个元素中取出R个元素进行排列。式C是指组合，从N个元素中取出R个元素，而不显示出来。 N-元素总数R 参与选择的元素数量！ -阶乘，寻找9！=9*8*7*6*5*4*3*2*1

Q1：从1到9共有9个数字球，请问可以组成多少个三位数？

A1：123和213是两个不同的显示号码。即如果对显示顺序有要求，则属于“排列P”的计算范围。

上题中，任何数字只能使用一次，而且显然不存在988、997之类的组合。可以这样隐藏。百位数有9 种可能性，十位数有9-1 种可能性。基本上个位数应该只有9-1-1的可能，最后有9*8*7个三位数。计算公式=P(3,9)=9*8*7,（9中最后三个数的乘积）

Q2：编号从1到9，一共有9个球，请问，如果有3个球为一组，代表“三国联盟”，那么可以组成多少个“三国联盟”？

A2：组合213和组合312代表同一个组合，只要三个号码的球在一起即可。即顺序不需要，属于“组合C”的计算类别。

上题中，将包括显示数在内的所有数去掉重复数后，最终的组合数为C(3, 9)=9*8*7/3*2*1

排列组合概念及公式典型实例解析

示例1有3个弟子和4个课外小组。 （1）每个弟子只能参加一个课外团体； （2）每个弟子只能参加一个课外小组，每个小组至少有一名弟子参加。发散的方式有多少种？

解（1） 由于每个学生都可以加入四个课外小组中的任何一个，且不限制每个课外小组的人数，因此有不同的方式。

（2）由于每个学生只参加一个课外小组，而每个小组至少有一名理论生参加，所以有不同的方法。

点评：由于要求3名理论生一一选择课外小组，因此两道题的计算均采用乘法原理。

示例2排列成一行。不排第一、不排第二、不排第三、不排第四的排列方式有多少种？

根据题意，符合要求的安排可以分为三类：第一类、第一类、其他类。每个类别的不同排列方式可以通过画“树形图”来一一勾勒出来：

有9 种不同的排列方式适合问题的含义。

点评：根据划分“类别”的思路，这题运用了加法原理。为了控制不同排列的规则，“树形图”是一种直观抽象的有效方法，也是解决计数问题的数学模型。

例3 判断下列问题是排列题还是组合题？并计算结果。

（1）高三年级学生11人：每两人交换一封信。它们一共有多少个字母？ 每两人握手一次。他们总共握手了多少次？

（2）高二数学课外小组有10人：选举组长和副组长有多少种不同的选拔办法？ 选拔2人参加省级数学竞赛，有多少种不同的选拔办法？

(3) 有八个质数2、3、5、7、11、13、17、19： 取其中任意两个数，求它们的商有多少个不同的商？ 取其中任意两个，求其乘积。可以获得多少种不同的产品？

（4）共有8 盆花： 从选花中选出2 盆，给A 和B 各一盆，有多少种不同的选择方式？ 选择2个盆放在报告厅里，有多少种不同的方式？

解释（1）由于每个人交换一封信，A给B的信和B给A的信是两个不同的字母，所以显示的是顺序关系； 由于每两个人互相握手一次，A 和B 握手，B 的握手与A 的握手是同一次握手，与顺序无关，因此是组合问题。其他类别也有解释。

(1)是显示标题问题，分享了一封信； 是组合题问题，需要总共握手（次数）。

（2）是一个排列问题，有（多种）不同的选择； 是一个组合问题，有多种不同的选择。

(3) 是一个排列问题，有不同的商； 是一个组合问题，具有发散的乘积。

(4)是一个排列标题的问题，有不同的选择； 是一个组合称谓的问题，有不同的选择。

点评：这是一道证明数值方程的问题。采用阶乘商的形式，利用阶乘的性质，可以简化变形过程。

点评：第一种解法使用了组合数公式的阶乘形式，并利用了阶乘的性质；第二种解决方案使用组合数的两个属性，这两个属性都简化了变形过程。

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